關(guān)於下方題目，有個概念叫「線共點」，就是三條直線通過同一點，圖一所示為特殊情況。一般而言，三條直線每兩條之間都會有一個交點，共有三個交點。

問題：三角形裏，由各頂點對於對邊的三點連直線，其中任意三線不共點。這些線段最多把三角形分成多少區(qū)域？

答案：如圖二，在A點處跟對邊三點連線，把三角形分成了4個區(qū)域。

如圖三，若在B點加一條直線到對邊，會多出4個區(qū)域，這樣加添3條直線，就多了3×4=12個區(qū)域。

如圖四，若在A和B點的線都已連結(jié)後，在C點向?qū)呥B線，那樣每多添一條線，就會多了7個區(qū)域，於是加了3條直線後，多了7×3=21。

因此共分成了4+12+21=37個區(qū)域。

題解由一點的連線開始，了解到最基本有4個區(qū)域的情況，然後逐步觀察，由另一頂點添加一條線時會產(chǎn)生怎樣的變化規(guī)律，之後再次應(yīng)用這個逐線觀察的方法，發(fā)現(xiàn)最後一個頂點連線時每次多4個區(qū)域，就得到答案了。

這題的解法若果出現(xiàn)在講求精簡表達(dá)的書本裏，可能只用一道算式就講完了。上邊的題解則是嘗試仔細(xì)說明探索過程以及思考的步驟，而這些思考過程，亦可推廣到點較多的情況，有較廣泛的意義。

題目本身在基礎(chǔ)知識來說初小也懂，就只涉及三角形的概念，然後連直線、找區(qū)域，要是仔細(xì)畫出來，把圖畫得大一點，小學(xué)生都會做。

不過，在教學(xué)意義上，這題的關(guān)鍵是怎麼由簡單情況推廣至較複雜的情況，以至求公式的問題，又或者推廣至多邊形、普遍平面等情況。

學(xué)生初接觸這題時，可能會因為需要添加的線段較多從而覺得有點混亂，加上區(qū)域時大時小，圖形看來就是一團糟。在這些混亂的情景下，學(xué)生開始感到要換個較有系統(tǒng)的方法，渴求有個循序漸進的方式可以找到答案，那樣就有動機更新思考方式。

這道題的價值正是在於能令學(xué)生衝破原本的思考方式，對於中小學(xué)各水平學(xué)生來說都是有益的練習(xí)。

在數(shù)學(xué)能力成長的過程中，由零散的試算到開始有組織的聯(lián)想，再到可以逐步仔細(xì)說明的推論，然後找到可以由近及遠(yuǎn)推廣且系統(tǒng)性的想法，這些都是思考能力發(fā)展的象徵。以藝術(shù)來比喻，有如小孩初時繪畫只會塗鴉，之後學(xué)會素描，了解各事物的紋理和比例，漸漸構(gòu)圖結(jié)構(gòu)變得嚴(yán)密、有取捨，能夠在平面上表現(xiàn)出寬廣又有深度的空間感。

思考能力的成長，大概就是由無序到有序，由近及遠(yuǎn)、由淺入深，無論在哪個領(lǐng)域都大致如此?！?張志基

香港數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數(shù)培訓(xùn)之註冊慈善機構(gòu)(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克比賽」，旨在發(fā)掘在數(shù)學(xué)方面有潛質(zhì)的學(xué)生。學(xué)員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓(xùn)並參加海內(nèi)外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。